Concepto de Función Matemática

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

• -2 → +4
• -1 → +1
• 0 → 0
• +1 → +1
• +2 → +4
• +3 → +9

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

• Estación → E
• Museo → M
• Arroyo → A
• Rosa → R
• Avión → A

Historia y Desarrollo de la Trigonometría

La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Orígenes en la Antigüedad

Ya en el siglo II a. C., el teorema de Menelao, utilizado para resolver triángulos esféricos, fue autoría de Ptolomeo. La función seno, en aquella época, representaba la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada.

Avances en la Edad Media y el Renacimiento

Se descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría, tanto para triángulos planos como esféricos. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller Königsberg, llamado Regiomontano.

La Revolución de los Logaritmos

A principios del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos. Gracias a esto, los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso.

El Cálculo Diferencial e Integral

A mediados del siglo XVII, los científicos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial e integral. Con la invención del cálculo, las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

La Contribución de Euler

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler…

El Gato Negro: Un Relato de Edgar Allan Poe

No espero ni pido que alguien crea en el extraño, aunque simple, relato que me dispongo a escribir. No estoy loco y sé muy bien que esto no es un sueño. No intentaré explicarlos. Si para mí han sido horribles, para otros resultarán menos espantosos que barrocos. Me gustaban especialmente los animales, y mis padres me permitían tener una gran variedad. Teníamos pájaros, peces de colores, un hermoso perro, conejos, un monito y un gato. Este último era un animal de notable tamaño y hermosura, completamente negro y de una sagacidad asombrosa. Hacia Plutón, sin embargo, conservé suficiente consideración como para abstenerme de maltratarlo, cosa que hacía con los conejos, el mono y hasta el perro cuando, por casualidad o movidos por el afecto, se cruzaban en mi camino. El gato, entretanto, mejoraba poco a poco. Cierto que la órbita donde faltaba el ojo presentaba un horrible aspecto, pero el animal no parecía sufrir ya. Se paseaba, como de costumbre, por la casa, aunque, como es de imaginar, huía aterrorizado al verme. Me quedaba aún bastante de mi antigua manera de ser para sentirme agraviado por la evidente antipatía de un animal que alguna vez me había querido tanto.

Y entonces, para mi caída final e irrevocable, se presentó el espíritu de la PERVERSIDAD. Este espíritu de perversidad se presentó, como he dicho, en mi caída final. La noche de aquel mismo día en que cometí tan cruel acción me despertaron gritos de: «¡Incendio!» Las cortinas de mi cama eran una llama viva y toda la casa estaba ardiendo. Todo quedó destruido. La que quedaba en pie era un tabique divisorio de poco espesor, situado en el centro de la casa, y contra el cual se apoyaba antes la cabecera de mi lecho. Al aproximarme vi que en la blanca superficie, grabada como un bajorrelieve, aparecía la imagen de un gigantesco gato. Pero la reflexión vino luego en mi ayuda. Era una gato negro muy grande, tan grande como Plutón y absolutamente igual a éste, salvo un detalle: Plutón no tenía el menor pelo blanco en el cuerpo, mientras este gato mostraba una vasta, aunque indefinida, mancha blanca que le cubría casi todo el pecho. Acababa, pues, de encontrar el animal que precisamente andaba buscando. Continué acariciando al gato y, cuando me disponía a volver a casa, el animal pareció dispuesto a acompañarme. Le permití que lo hiciera, deteniéndome una y otra vez para inclinarme y acariciarlo. Cuando estuvo en casa, se acostumbró a ella de inmediato y se convirtió en el gran favorito de mi mujer.

Gradualmente, el sentimiento de disgusto y fatiga creció hasta alcanzar la amargura del odio. Durante algunas semanas me abstuve de pegarle o de hacerle víctima de cualquier violencia; pero gradualmente —muy gradualmente— llegué a mirarlo con inexpresable odio y a huir en silencio de su detestable presencia, como si fuera una emanación de la peste. Lo que, sin duda, contribuyó a aumentar mi odio fue descubrir, a la mañana siguiente de haberlo traído a casa, que aquel gato, igual que Plutón, era tuerto. Esta circunstancia fue precisamente la que le hizo más grato a mi mujer, quien, como ya dije, poseía en alto grado esos sentimientos humanitarios que alguna vez habían sido mi rasgo distintivo y la fuente de mis placeres más simples y más puros. El cariño del gato por mí parecía aumentar en el mismo grado que mi aversión. En esos momentos, aunque ansiaba aniquilarlo de un solo golpe, me sentía paralizado por el recuerdo de mi primer crimen, pero sobre todo —quiero confesarlo ahora mismo— por un espantoso temor al animal. El lector recordará que esta mancha, aunque grande, me había parecido al principio de forma indefinida; pero gradualmente, de manera tan imperceptible que mi razón luchó durante largo tiempo por rechazarla como fantástica, la mancha fue asumiendo un contorno de rigurosa precisión.

De día, aquella criatura no me dejaba un instante solo; de noche, despertaba hora a hora de los más horrorosos sueños, para sentir el ardiente aliento de la cosa en mi rostro y su terrible peso —pesadilla encarnada de la que no me era posible desprenderme— apoyado eternamente sobre mi corazón. Cierto día, para cumplir una tarea doméstica, me acompañó al sótano de la vieja casa donde nuestra pobreza nos obligaba a vivir. El gato me siguió mientras bajaba la empinada escalera y estuvo a punto de tirarme cabeza abajo, lo cual me exasperó hasta la locura. Pero la mano de mi mujer detuvo su trayectoria. Sabía que era imposible sacarlo de casa, tanto de día como de noche, sin correr el riesgo de que algún vecino me observara. Sin lugar a dudas, sería muy fácil sacar los ladrillos en esa parte, introducir el cadáver y tapar el agujero como antes, de manera que ninguna mirada pudiese descubrir algo sospechoso. Había barrido hasta el menor fragmento de material suelto. Si en aquel momento el gato hubiera surgido ante mí, su destino habría quedado sellado, pero, por lo visto, el astuto animal, alarmado por la violencia de mi primer acceso de cólera, se cuidaba de aparecer mientras no cambiara mi humor. No se presentó aquella noche, y así, por primera vez desde su llegada a la casa, pude dormir profunda y tranquilamente; sí, pude dormir, aun con el peso del crimen sobre mi alma. Una vez más respiré como un hombre libre. ¡Aterrado, el monstruo había huido de casa para siempre! Mi corazón latía tranquilamente, como el de aquel que duerme en la inocencia. Había cruzado los brazos sobre el pecho y andaba tranquilamente de aquí para allá. La alegría de mi corazón era demasiado grande para reprimirla. Ardía en deseos de decirles, por lo menos, una palabra como prueba de triunfo y confirmar doblemente mi inocencia. Dicho sea de paso, caballeros, esta casa está muy bien construida… tienen una gran solidez. Hablar de lo que pensé.

Avanza la Búsqueda de Consenso sobre la Paz en Colombia

Impulso del Premio Nobel a Juan Manuel Santos

El presidente Juan Manuel Santos junto a su esposa, María Clemencia Rodríguez (i). Foto: Agencia EFE/LEONARDO MUÑOZ

La posibilidad de un acercamiento entre el Gobierno colombiano y los líderes del «no» al acuerdo de paz con las FARC avanza con el impulso del Premio Nobel que obtuvo el presidente Juan Manuel Santos, el respaldo de la guerrilla y las víctimas, y la disposición de los opositores para destrabar el proceso.

El reconocimiento que otorgó el Comité Nobel de Noruega a Santos por su decisión de invitar a todas las partes a participar en un diálogo nacional para que el proceso de paz no muera, luego de que el pasado domingo ganara en las urnas la opción del «no» al acuerdo, se convirtió en un aliciente para alcanzar el consenso.

El expresidente colombiano Álvaro Uribe, opositor al acuerdo, manifestó que los cambios que se propongan al texto firmado en Cartagena el pasado 26 de septiembre por el Gobierno y la guerrilla deben hacerse de manera pública para que sean transparentes. «Las reuniones sobre la modificación de los acuerdos se deben realizar en público porque evita tergiversaciones del Gobierno sobre lo que allí decimos», indicó Uribe en Twitter. Asimismo, anunció que la oposición publicará parte de las «propuestas», sobre lo que tanto insistió en la campaña por el «no».

El pasado 2 de octubre se llevó a cabo un plebiscito con el que se pretendió ratificar el texto firmado por las partes tras más de cuatro años de negociaciones en La Habana. El «no» obtuvo la victoria en las urnas con el 50,21 % de los votos, mientras el «sí» alcanzó el 49,78 %, escenario que dejó en la incertidumbre el fin del conflicto de 52 años y llevó a Santos a entablar conversaciones con la oposición.

El miércoles de esta semana, Uribe acudió a la primera reunión con el presidente, luego de la cual pidió que la comunidad internacional acompañe la «nueva etapa» que vive Colombia tras el triunfo del «no» en el plebiscito. El secretario de Estado de EE.UU., John Kerry, habló este viernes telefónicamente con Uribe y elogió su compromiso con la paz. Según manifestó hoy en un comunicado el portavoz del Departamento de Estado, John Kirby, Kerry dejó claro que «la continua disposición del expresidente a trabajar por un acuerdo duradero será crucial para avanzar».

Este sábado se manifestó también el máximo líder de las FARC, Rodrigo Londoño, alias «Timochenko», quien sostuvo que el Premio Nobel de Paz ayudará a reforzar la pacificación en el país. «Felicitaciones al señor presidente Juan Manuel Santos y al pueblo colombiano por este reconocimiento de la comunidad internacional. Con toda seguridad, este premio contribuirá a afianzar la paz que tanto anhelamos. ¡La paz triunfará!», indicó. En la declaración, el líder de la guerrilla afirmó también que a la insurgencia le congratula que «el comité del Premio Nobel otorgue este reconocimiento al acuerdo de paz», que «constituye un homenaje a la lucha de cada una de las víctimas de este cruento conflicto de más de medio siglo».

Igualmente, las víctimas que participaron en los diálogos de paz de La Habana felicitaron hoy al jefe de Estado por el Nobel, al que consideraron como «propio», y pidieron seguir adelante en la búsqueda de la paz. «El acuerdo representa una gran conquista de los y las colombianas que servirá de base para continuar consensuando posiciones a fin de que sea posible construir una paz estable y duradera en Colombia», declararon. Para ello, propusieron un «gran pacto político y social que proscriba la violencia» y solicitaron «se siga avanzando en la implementación de los asuntos humanitarios» del acuerdo.

Al respecto, la excandidata presidencial conservadora Marta Lucía Ramírez, quien hace parte de la comitiva de Uribe en los diálogos con el Gobierno para sacar del limbo el proceso con las FARC, comentó en Twitter que «el Nobel reconoce sobre todo a víctimas de a pie, campesinos, indígenas, comunidades pobres sufridas por cilindros bomba (lanzados por la guerrilla) y que hoy perdonan». Por lo anterior, precisó, «el galardón constituye un mandato para que el presidente ordene a los negociadores mejorar el acuerdo».